Prueba de bondad de ajuste de ji-cuadrada y Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov.

Pruebas de la bondad de ajuste.

En la construcción del modelo de simulación es importante decidir si un conjunto de datos se ajusta apropiadamente a una distribución específica de probabilidad. Al probar la bondad del ajuste de un conjunto de datos, se comparan las frecuencias observadas FO realmente en cada categoría o intervalo de clase con las frecuencias esperadas teóricamente FE.

Prueba Ji cuadrada

La prueba Ji cuadrada hace uso de la distribución del mismo nombre para probar la bondad del ajuste al comparar el estadístico de prueba Xo2 con el valor en tablas de la mencionada distribución Ji cuadrada con v grados de libertad y un nivel de significancia alfa. En la siguiente sección aplicaremos esta prueba para probar la hipótesis nula de que los números aleatorios (provenientes de un generador) se ajustan a la distribución teórica uniforme continua.

Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2,......., xn Se propone la hipótesis nula H0, de que la distribución de donde proviene la muestra se comporta según un modelo teórico específico tal como la uniforme, la exponencial, la normal, etc. Entonces FOi, representa el número de veces que ocurre el valor xi mientras que FEi, es la frecuencia esperada proporcionada por el modelo teórico propuesto. A menudo ocurre que muchas de las frecuencias FEi, (y también las FOi) son muy pequeñas, entonces, como regla práctica adoptamos el criterio de agrupar los valores consecutivos de estas frecuencias esperadas hasta que su suma sea de al menos cinco. La medida estadística de prueba para la hipótesis nula es

Para n grande este estadístico de prueba tiene una distribución X2 aproximada con V grados de libertad dados por

V = (k –1) – (número de parámetros estimados)

así, si se estiman dos parámetros como la media y la varianza, la medida estadística tendrá (k – 3) grados de libertad.

Se puede aplicar esta prueba a variables continuas agrupando adecuadamente los valores en un número adecuado de subintervalos o clases k. Una regla empírica para seleccionar el número de clases es:

EJEMPLO. 

La siguiente muestra de tamaño 50 ha sido obtenida de una población que registra la vida útil (en unidades de tiempo) de baterías alcalinas tipo AAA. Pruébese la hipótesis nula de que la variable aleatoria vida útil de las baterías sigue una distribución exponencial negativa. Considérese un nivel de significancia alpha de 5%.

8.223	0.836	2.634	4.778	0.406	0.517	2.330	2.563	0.511	6.426
2.230	3.810	1.624	1.507	2.343	1.458	0.774	0.023	0.225	3.214
2.920	0.968	0.333	4.025	0.538	0.234	3.323	3.334	2.325	7.514
0.761	4.490	1.514	1.064	5.088	1.401	0.294	3.491	2.921	0.334
1.064	0.186	2.782	3.246	5.587	0.685	1.725	1.267	1.702	1.849

SOLUCIÓN. Calculamos los valores min = 0.023 y max = 8.223. Resultando ser el rango o recorrido igual a 8.2. El valor promedio es de 2.3. A continuación ordenamos los valores de manera ascendente y construimos el histograma de frecuencias relativas con seis clases cada una de longitud 1.5. (Esto es debido a que 8.2 / 6 = 1.3)

k	Clase	FO absoluta	FO relativa
1	0.0 - 1.15	21	0.42
2	1.15 - 3.0	15	0.30
3	3.0 - 4.5	8	0.16
4	4.5 - 6.0	3	0.06
5	6.0 - 7.5	1	0.02
6	7.5 - 9.0	2	0.04

Re – agrupamos las clases de modo que la FO sea de al menos 5

k	Clase	FO absoluta	FO relativa
1	0.0 - 1.15	21	0.42
2	1.15 - 3.0	15	0.30
3	3.0 - 4.5	8	0.16
4	4.5 - 9.0	6	0.12

Como nuestra hipótesis nula es que los datos se ajustan a la función de probabilidad exponencial negativa, emplearemos tal función para calcular mediante integración el porcentaje de probabilidad esperado para cada subintervalo. Ya vimos que el valor promedio es de 2.3, sin embargo para fines prácticos lo consideraremos como 2.0. El cálculo de la integral para la primer clase es:

 =0.528

k	Clase	FO relativa	FE teórica	(FO-FE)2FE
1	0.0 - 1.5	0.42	0.528	0.022
2	1.5 - 3.0	0.30	0.249	0.010
3	3.0 - 4.5	0.16	0.118	0.015
4	4.5 - 9.0	0.12	0.105	0.002

Entonces se tiene el valor 0.049

Ahora compararemos este valor calculado contra el valor tabulado de la distribución Ji – cuadrada con un nivel de significancia alpha de 5% y el número de grados de libertad
V = (k –1) – 1 = (4 –1) –1 = 2. (Obsérvese que se estimó el parámetro promedio?). Entonces 5.99

Como vemos el valor calculado es menor que el valor tabulado, por tanto la conclusión es que no se puede rechazar la hipótesis nula de que la muestra proviene de una distribución exponencial con media 2.0.

Prueba de Kolmogorov - Smirnov

Otra prueba para la bondad de ajuste se apoya en la distribución de Kolmogorov – Smirnov la que al ser desarrollada para variables continuas la hace más poderosa por ejemplo, en el caso de los números aleatorios, que la Ji cuadrada. Por esta razón, en esta sección la presentamos para un caso distinto al de la distribución continua.

Definamos la siguiente función de distribución empírica. Supóngase que Y es una variable aleatoria continua que tiene una función de distribución F(y). Una muestra aleatoria de n realizaciones de Y produce las observaciones y1, y2, ..., yn. Reordenemos esos valores observados de menor a mayor, y las yi ordenadas se representan mediante y(1) y(2) ..., y(n). Es decir, si y1 = 7, y2 = 9 y y3 = 3, entonces y(1) = 3, y(2) = 7 y y(3) = 9. Ahora bien, la función de distribución acumulada empírica esta definida por:

F n(y) = fracción de la muestra menor o igual a y

Supóngase que se toma una variable aleatoria continua Y, bajo la hipótesis nula, que tiene una función de distribución representada por F (y). La hipótesis alterna es que F (y) no es la función verdadera de distribución de es la función verdadera de distribución de Y. Después de observar una muestra aleatoria de n valores de Y, F (y) debe estar “cerca“ de F n(y)siempre y cuando sea verdadera la hipótesis nula. Por lo tanto, la medida estadística debe apreciar la cercanía de F(y) a Fn(y) en todo el intervalo de valores de y.

La medida estadística D de K-S se basa en la distancia máxima entre F(y) y Fn(y), es decir,

D = máx ¦ F(y) - Fn(y) ¦

Se rechaza la hipótesis nula si D es “demasiado grande”.

Como F(y) y Fn(y) no son decrecientes y Fn(y) es constante entre observaciones de muestra, la desviación máxima entre F(y) y Fn(y), se presentará ya sea en uno de los puntos de observación y1 , ... yn , o inmediatamente a la izquierda de uno de ellos. Para determinar el valor observado de D, se necesita entonces comprobar tan sólo

D+ = máx 

y

D- = máx 

Ya que

D = máx (D+ , D-)

Si en H0 se supone la forma de F (y), pero se deja sin especificar algunos de los parámetros, entonces éstos se deben estimar a parir de los datos de la muestra antes de poder llevar a cabo la prueba.

Stephens (1974) dio valores de corte de áreas superiores de 0.15, 0.10, 0.05, 0.025 y 0.01 para una forma modificada de la tabla K – S para D (presentada en el apéndice de este libro), los cuales se muestran en la siguiente tabla para tres casos. Estos casos son para la hipótesis nula de una F(y) completamente especificada, una F(y) normal con promedio y variancia desconocidos, y una F(y) exponencial con promedio desconocido.

TABLA DE KOLMOGOROV – SMIRNOV DE STEPHENS. Puntos porcentuales del extremo superior para D modificada

EJEMPLO. Considérese que las diez observaciones siguientes son una muestra aleatoria de una distribución continua. Probar la hipótesis de que esos datos provienen de una distribución exponencial con promedio 2, en el nivel de significación 0.05.

0.406, 2.343, 0.538, 5.088, 5.587, 2.563, 0.023, 3.334, 3.491, 1.267.

Solución. Se ordenan las diez observaciones ascendentemente y entonces se calcula, para cada y(i), el valor de F(yi), donde H0 establece que F (y) es exponencial con teta=2. por tanto,
F(yi) = 1 - e-yi/2

Registraremos los datos ordenados así como los cálculos en la siguiente

TABLA

I	y(i)	F(yi)	i/n	(i – 1)/n	i/n - F(yi)	F(yi) - (i – 1)/n
1	0.023	0.0114	0.1	0.0	0.0886	0.0114
2	0.406	0.1838	0.2	0.1	0.0162	0.0838
3	0.538	0.2359	0.3	0.2	0.0641	0.0359
4	1.267	0.4693	0.4	0.3	-0.0693	0.1693
5	2.343	0.6901	0.5	0.4	-0.19801	0.2901
6	2.563	0.7224	0.6	0.5	-0.1224	0.2224
7	3.334	0.8112	0.7	0.6	-0.1112	0.2112
8	3.491	0.8254	0.8	0.7	-0.0254	0.1254
9	5.088	0.9214	0.9	0.8	-0.0214	0.1214
10	5.587	0.9388	0.10	0.9	0.0612	0.0388

D+ es el valor máximo en la columna 6 y D- el máximo en la columna 7. Entonces D + = 0.0886 y D – = 0.2901, lo cual da D = 0.2901. Para determinar el valor crítico a partir de la tabla K - S, se necesita calcular

 En el nivel de significación alfa = 0.05, el valor de D calculado es menor que el valor del valor de D modificado. Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula. Más adelante, aplicaremos esta prueba de K – S, sin la modificación de Stephens.